F[x_] = (x^2)-2;

Vals = Table[Nest[F,0.1,k],{k,0,2000}];

Histogram[Vals,{0.01}]

PlotF = Plot[F[x],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];
Plotx = Plot[x,{x,-2,2},PlotStyle->{{Black, Thickness[0.01]}}];

M = 500;
(Subscript[x, 0]) = 0.1;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = F[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,0,M}],PlotF,Plotx}, Axes->True]

Animate[Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,0,R}],PlotF,Plotx}, Axes->True],{R,0,M}]

M = 50;
(Subscript[x, 0]) = 0.0;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = F[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k+1]),{k,0,M}],PlotF,Plotx}, Axes->True]

Table[(Subscript[x, k]),{k,0,50}]

PlotF2 = Plot[F[F[x]],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];
Plotx = Plot[x,{x,-2,2},PlotStyle->{{Black, Thickness[0.01]}}];

Show[{PlotF2,Plotx}]

Expand[F[F[x]]]

Soln=Solve[F[F[x]]==x,x]

Soln[[3]]

N[Soln[[3]]]

M = 50;
(Subscript[x, 0]) = x/.Soln[[3]];
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = Simplify[F[(Subscript[x, k-1])]];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k+1]),{k,0,M}],PlotF,Plotx}, Axes->True]

Table[(Subscript[x, k]),{k,0,50}]//MatrixForm