F[x_] = (x^2);

(Vals = Table[Nest[F,-1,k],{k,0,20}])//MatrixForm

PlotF = Plot[F[x],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];
Plotx = Plot[x,{x,-2,2},PlotStyle->{{Black, Thickness[0.01]}}];

M = 20;
(Subscript[x, 0]) = 0.1;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = F[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,M}],PlotF,Plotx}, Axes->True]

Animate[Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,R}],PlotF,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{0,0.1},{0,0.1}}],{R,1,M}]

M = 20;
(Subscript[x, 0]) = -0.9;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = F[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k+1]),{k,1,M}],PlotF,Plotx}, Axes->True]

Table[(Subscript[x, k]),{k,0,20}]

PlotF2 = Plot[F[F[x]],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];
Plotx = Plot[x,{x,-2,2},PlotStyle->{{Black, Thickness[0.01]}}];

Show[{PlotF2,Plotx}]

Expand[F[F[x]]]

G[x_] = -x;

(Vals = Table[Nest[G,-1,k],{k,0,20}])//MatrixForm

PlotG = Plot[G[x],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];
Plotx = Plot[x,{x,-2,2},PlotStyle->{{Black, Thickness[0.01]}}];

M = 20;
(Subscript[x, 0]) = 1.0;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = G[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,M}],PlotG,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-1.2,1.2},{-1.2,1.2}}]

H[x_] = x-(x^2);

PlotH = Plot[H[x],{x,-2,2},PlotStyle->{{Blue, Thickness[0.01]}}];

Show[PlotH,Plotx, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}]

M = 5;
(Subscript[x, 0]) = 1.5;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = H[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,M}],PlotH,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}]

Animate[Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,R}],PlotH,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],{R,1,M}]

M = 20;
(Subscript[x, 0]) = 0.9;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = H[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,M}],PlotH,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}]

Animate[Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,R}],PlotH,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],{R,1,M}]

M =110;
(Subscript[x, 0]) = -0.01;
(Subscript[pts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),0};
(Subscript[dpts, 0]) = {(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])};
For[k=1, k≤M,
(Subscript[x, k]) = H[(Subscript[x, k-1])];
(Subscript[pts, k]) = {(Subscript[x, k-1]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[dpts, k]) = {(Subscript[x, k]),(Subscript[x, k])};
(Subscript[LinePlot, k]) =Graphics[{Thickness[.001],Red,Line[{(Subscript[dpts, k-1]),(Subscript[pts, k])}],Red,Line[{(Subscript[pts, k]),(Subscript[dpts, k])}]}];
k++; ];

Show[{Table[(Subscript[LinePlot, k]),{k,1,M}],PlotH,Plotx}, Axes->True, PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}]

(Table[(Subscript[x, k]),{k,0,110}])//MatrixForm