(Subscript[P, 1]) = {0,0}; (Subscript[P, 2])= {1,0}; (Subscript[P, 3]) = {0,1}; (Subscript[P, 4]) = {1,1}; (Subscript[P, 5]) = {1/2, 1/2};

β = 1/3;

(Subscript[A, 1]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1])

(Subscript[A, 2]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2])

(Subscript[A, 3]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3])

(Subscript[A, 4]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4])

(Subscript[A, 5]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5])

Pt = {0.1,0.2};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,5}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

(Subscript[P, 1]) = {1,1/2}; (Subscript[P, 2])= {1/2,1}; (Subscript[P, 3]) = {-1/2,1}; (Subscript[P, 4]) = {-1,1/2}; (Subscript[P, 5]) = {-1, -1/2}; (Subscript[P, 6]) = {-1/2, -1}; (Subscript[P, 7]) = {1/2, -1}; (Subscript[P, 8]) = {1, -1/2};

β = 2/9;

(Subscript[A, 1]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1]); 
(Subscript[A, 2]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2]);
(Subscript[A, 3]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3]);
(Subscript[A, 4]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4]);
(Subscript[A, 5]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5]);
(Subscript[A, 6]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 6]))+(Subscript[P, 6]);
(Subscript[A, 7]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 7]))+(Subscript[P, 7]);(Subscript[A, 8]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 8]))+(Subscript[P, 8]);

Pt = {0.0,0.0};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,8}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1, PlotRange->{{0.2,1},{0,0.7}}]

(Subscript[P, 1]) = {1,1/2}; (Subscript[P, 2])= {1/2,1}; (Subscript[P, 3]) = {-1,1}; (Subscript[P, 4]) = {-1,1/2}; (Subscript[P, 5]) = {-1, -1}; (Subscript[P, 6]) = {-1/2, -1}; (Subscript[P, 7]) = {1/2, -1}; (Subscript[P, 8]) = {1, -1};

β = 1/6;

(Subscript[A, 1]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1]); 
(Subscript[A, 2]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2]);
(Subscript[A, 3]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3]);
(Subscript[A, 4]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4]);
(Subscript[A, 5]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5]);
(Subscript[A, 6]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 6]))+(Subscript[P, 6]);
(Subscript[A, 7]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 7]))+(Subscript[P, 7]);(Subscript[A, 8]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 8]))+(Subscript[P, 8]);

Pt = {0.0,0.0};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,8}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1, PlotRange->{{0.2,1},{0,0.7}}]

(Subscript[P, 1]) = {1,1/2}; (Subscript[P, 2])= {1/2,1}; (Subscript[P, 3]) = {-1/2,1}; (Subscript[P, 4]) = {-1,1/2}; (Subscript[P, 5]) = {-1, -1/2}; (Subscript[P, 6]) = {-1/2, -1}; (Subscript[P, 7]) = {1/2, -1}; (Subscript[P, 8]) = {1, -1/2};(Subscript[P, 9]) = {0, 0};

β = 0.28;

(Subscript[A, 1]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1]); 
(Subscript[A, 2]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2]);
(Subscript[A, 3]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3]);
(Subscript[A, 4]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4]);
(Subscript[A, 5]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5]);
(Subscript[A, 6]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 6]))+(Subscript[P, 6]);
(Subscript[A, 7]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 7]))+(Subscript[P, 7]);
(Subscript[A, 8]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 8]))+(Subscript[P, 8]);
(Subscript[A, 9]) = β ({x,y}-(Subscript[P, 9]))+(Subscript[P, 9]);

Pt = {0.1,0.1};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,9}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

(ATheta = {{Cos[θ], -Sin[θ]},{Sin[θ],Cos[θ]}})//MatrixForm

ATheta.{a,b}//MatrixForm

(Subscript[P, 1]) = {0,0}; (Subscript[P, 2])= {1,0}; (Subscript[P, 3]) = {0,1}; (Subscript[P, 4]) = {1,1}; (Subscript[P, 5]) = {1/2, 1/2};

β = 1/3; θ = -π/2;

(Subscript[A, 1]) = β  ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1])

(Subscript[A, 2]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2])

(Subscript[A, 3]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3])

(Subscript[A, 4]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4])

(Subscript[A, 5]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5])

Pt = {0.1,0.2};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,5}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

(Subscript[P, 1]) = {1,1/2}; (Subscript[P, 2])= {1/2,1}; (Subscript[P, 3]) = {-1/2,1}; (Subscript[P, 4]) = {-1,1/2}; (Subscript[P, 5]) = {-1, -1/2}; (Subscript[P, 6]) = {-1/2, -1}; (Subscript[P, 7]) = {1/2, -1}; (Subscript[P, 8]) = {1, -1/2};

β = 1/4; θ = -π/3;

(Subscript[A, 1]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1]); 
(Subscript[A, 2]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2]);
(Subscript[A, 3]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3]);
(Subscript[A, 4]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4]);
(Subscript[A, 5]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5]);
(Subscript[A, 6]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 6]))+(Subscript[P, 6]);
(Subscript[A, 7]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 7]))+(Subscript[P, 7]);(Subscript[A, 8]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 8]))+(Subscript[P, 8]);

Pt = {0.0,0.0};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,8}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]

(Subscript[P, 1]) = {-1,-1}; (Subscript[P, 2])= {1,1}; (Subscript[P, 3]) = {-1,1}; (Subscript[P, 4]) = {1,-1}; (Subscript[P, 5]) = {0, 0};

β = 1/3; θ = -π/2;

(Subscript[A, 1]) = β  ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 1]))+(Subscript[P, 1])

(Subscript[A, 2]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 2]))+(Subscript[P, 2])

(Subscript[A, 3]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 3]))+(Subscript[P, 3])

(Subscript[A, 4]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 4]))+(Subscript[P, 4])

(Subscript[A, 5]) = β ATheta.({x,y}-(Subscript[P, 5]))+(Subscript[P, 5])

Pt = {0.1,0.2};
Pts = {Pt};

For[j=1, j<10000, j++, 
v=RandomInteger[{1,5}];
FncMap = (Subscript[A, v]);
Pt = Flatten[FncMap/.{x->Pt[[1]],y->Pt[[2]]}];
Pts = Join[Pts,{Pt},1];
]

ListPlot[Pts,PlotStyle->{{Red}}, AspectRatio->1]